- 판별식 -

판별식의 중요성을 다시 말한다는 것은..... 몰라. 암튼 열라!! 진짜!!
중요하다 못해 아주 그냥~!! 우어~!!! 장난 아냐. 진짜. 이거 모르면 고등학교
수학을 헛배운 것과 같지. 그럼. 어떻게 보면 판별식의 근원인 근의
공식보다도 더 많이 쓰이는 공식이 판별식이니까.

판별식의 공식 자체는 아주 간단하지. a,b,c가 실수라 하고 a!=0이라 할 때,

ax²+ bx + c =0이면

b²-4ac > 0 일때 두 실근을 갖고,
b²-4ac = 0 일때 중근을 갖고,
b²-4ac < 0 일때 두 허근을 갖는다.( 실근을 갖지 않는다. )

ax²+ 2bx + c =0이면

b²-ac > 0 일때 두 실근을 갖고,
b²-ac = 0 일때 중근을 갖고,
b²-ac < 0 일때 두 허근을 갖는다.( 실근을 갖지 않는다. )

라는 것이 판별식이야. 음. 그런데 별거 아닌 것 같은 이 판별식이 왜 그렇게
중요하냐 하면, 우선 그래프 문제에서 이차 그래프가 x축에 접한다, 2 점에서
만난다, 만나지 않는다 라는 것을 판별할 때 쓰이고, 이건 마찬가지로 3차,
4차 방정식에서도 인수 분해 되어서 2차식이 나오면 쓰일 수 있다구. 그러니까
예를 들어서,

y = x³-(2a-1)x²-(a-2)x+a+2 와 같은 3차식이 있다고 할 때, 이 3차식의
그래프가 x축과 1번 만난다면 이를 만족하는 모든 정수 a의 합은?

이라는 주관식 문제가 있다고 하자. 음. 일단 이런 문제는 100% 인수분해 되게
되어 있어. 안되면 고등학교 문제 아니니까, 걱정말고 인수 분해 해 보자구.
대충 x=-1을 넣으면 인수분해 될 꺼라고 눈치까야지. 그러면 y =
(x+1)(x²-2ax+a+2)의 형태로 인수분해 되는데, 여기서 (x+1)(x²-2ax+a+2) =
0 이라 하고 이 방정식이 근을 몇개 갖는냐, 이게 x축과 몇개의 점에서
만나느냐 하는 것과 똑같은 얘기거든. 근데 깜빡 실수하기 쉬운 것이, 앞의
1차식에서 이 그래프는 x=-1 에서 무조껀 x축이랑 만나게 되거든. 그러면 뒤에
2차식도 x=-1에서 중근을 가지면 전체적으로 x축이랑 만나는 점은 1개밖에
없으니까 이게 답이구나, 할 수도 있는데.. 그래, 여기까지는 좋아. 직접 해
보자구. 뒤의 이차식에 x=-1을 넣으면 a=-1이 나오지. 그럼 뒤의 식은 (x²+2x
+ 1)이 되니까 결국 x=-1이라는 한 점에서만 만나게 되는 거잖아? 그러니까
a=-1이 답이구나, 해서 답안지에 a=-1이라고 쓰는 순간, 점수는 휘리릭~ 하고
날아가 버리는거야. 우씨, 그럼 답이 뭐야!! 라고 소리치기 전에, 뒤에
이차식이 허근을 가질 경우도 생각해 봐야지. 그러니까 x축이랑 뒤의 2차식이
아얘 만나지 않으면 이것도 답이 되니까. 즉, 뒤의 2차식에서 판별식을
사용하면, a²-(a+2) < 0일 때 조건을 만족한다는 소리야. 이걸 풀면 -1<a<2가
나오지. 이 범위를 만족하는 a값은 0,1이 있으니까, 위의 -1과 모두 더하면
정수 a의 합은 0.

그리고 여기서 또 짚고 넘어가야 될 것이, 허근을 갖는다는 문제야. 판별식이
음이 나오면 이 방정식은 근을 갖지 않는 것이 아니라, 실근을 갖지 않고
허근을 가진다는 말이거든. 그럼 허근이란 뭐냐, 한마디로 얘기하면 허수를
근으로 갖는다는 뜻이야. ( 헉. 설마 근...이 뭔지 모르지는 않겠지? 근이라는
건, 방정식을 풀었을 때 나오는 해답이라는 뜻이여. 혹시나 노파심에서. )
그럼 허수란 뭐냐, 0보다 작은 x²이 실제로 존재하지 않고 실수축을 갖는
그래프로도 그릴수도 없잖아. 그래서 뻥이다, 있지도 않는데 있는 척 한다
해서 허!근이라는 말을 쓰는데... 잘 봐라. 그렇다면 x²이 음수가 되면
허근을 가지게 되는 거잖아? 그렇다면

사차식 x⁴-2ax²+b = 0 이 실근을 갖지 않을 a,b의 영역은?

이라는 문제가 있다면, 우선 x²이 허근을 가지면 될테니 판별식 a²-b < 0이
답으로 떠오르겠지. 여기서 주의! 아직 하나 더 남았잖아. x²이 음의 근을
가져도 실근을 갖지 않잖아. 즉, x²을 t로 치환하고 t²-2at + b = 0인
식에서 이 식이 실근을 갖되, 두 실근이 모두 음수이면 위의 조건을
만족하므로, a²-b>0, a<0,b>0도 답이 된다, 이거지. 그러니까 영역을
그려보면 a,b를 축으로 하는 그래프에서 b>a²의 영역과, a<0,b>0,b<a²의
영역 을 모두 그려줘야 되므로...


- 어쨌든 풀리는 수학 157 page -


### 수학의 왕자 2부 (3) ###

" 구구단을 외자, 구구단을 외자, 이 삼에? "

" 육, 칠팔에? "

" 오십육, 구육에? "

" 오십사, 사칠에? "

" 이십팔, 칠삼에? "

" 이십일, 팔사? "

" 이십삼. 육오?"

" 틀렸어. 이십삼이 아니라 삼십이여. 도로 가 봐. "

으으으윽!!! 또 졌다!!!

이건 도대체가 말도 안돼. 무슨 할머니가 구구단을 이렇게 잘 외는거야?
게다가 이 한밤중에 잠도 못자고 산 속에서 이거 무슨 짓이냐구.. 으으..

" 야, 또 졌어? "

" 니가 해 봐.. 저 할머니 장난 아냐.. "

" 이겨야 수학동에 데려다 준다고 했으니 이겨야지!! "

" 그게 내 맘대로 안되니까 지금 이러는거 아냐!!!!!!! 우워어어어어~!!!! "

" 비켜봐. 내가 해 볼께. 자, 할머니. 구구단을 외자, 구구단을 외자, 사사? "

" 십육. 칠구에? "

" 육십삼, 팔삼에? "

" 이십사, 사칠에? "

" 이십팔, 삼사에? "

" 십이, 구삼에? "

" 이십일, 으악! "

" 더 연습해가지고 와. "

" 거봐. 안된댔지? "

" 너 지금 나보고 웃음이 나와!! 우씽~!! "

" 으아아악~!!!! 꼬집지 마아~!!!!!! "

아마 두세시간은 지난 것 같다. 수학동에 데려다 준다고 알지도 못하는
할머니를 따라 나온 우리 잘못도 있긴 하지만, 차라리 납치 폭행 뭐 이런거면
이해를 하겠는데, 도대체 왠 구구단을 외자는 거냔 말이다. 으으.

아무튼 이기면 데려다 준다고 하긴 했는데, 이게 어디 쉽게 이겨져야지. 이
할머니 아무래도 구구단을 외자 한국 챔피언 아닐까. 어떻게 수십번을 해도 다
이기냐구... 맨날 이것만 한거야? 도대체가.. 으으.

" 동현아, 일루와 봐. "

" 왜? "

" 우리 계속 이대로만 하면 저 할머니 절대 못이길 것 같다. 그렇지? "

" 응. 그건 나도 동감이야. "

" 그럼 좀 수를 써 보자구. 동현이 너 뭐 떠오르는 거 없어? "

" 그..글쎄... "

" 아무튼 난 몰라. 너가 가자고 꼬셔서 수학 캠픈지 뭔지 왔는데, 이건 왠
이상한 할머니 때문에 여기서 이 고생이 뭐야.. 내 팔 지금 모기 물린것
때문에 가려워 죽겠어. "

" 그건 나도 그래.. 어떻게 해야.. 그냥 내일 날 밝을 때 까지 여기 기다리고
있을까? "

" 아까 그래봤잖아. 그냥 할머니 무시하고 모기고 나방이고 다 무시하고 그냥
졸린김에 잘려고 했었잖아. "

" 마져.. 그랬었지. "

주변에 날아다니는 새 크기의 나방이나 수많은 모기들을 그냥 무시해버리고,
할머니도 무시해버리고 두눈 콱 감은채 내일 아침이 되기를 바라며 자버리려고
했었었다. 그런데 이 할머니가, 으으으으!!! 자는 우리를 툭툭 치면서 깨워서
구구단을 외는 것이다. 자는데 누가 옆에서 " 구구단을 외자, 구구단을 외자
구구단을 외자~! " 이런다고 생각해 봐라. 으아!!! 왕짜증!!!! 동갑이나 어린
애면 그냥 콱 쥐어박아주겠지만 이건 또 할머니라 어떻게 할 수도 없고..
눈물을 흘리며 일어나는 수 밖에. 어흑. 이건 고문이야, 고문!!

" 이건 어떨까? "

" 무슨? "

" 그러니까, 어려운 칠단이나 팔단을 팔일, 팔이, 팔삼, 이렇게 계속 나가다가
막판에 다른걸로 바꿔버리는 거. 팔육, 팔칠, 팔팔, 한 다음에 칠구? 이렇게. "

" 흠.. 그러니까 자기도 모르게 대답이 튀어나오도록? "

" 그렇지. "

" 어디 한번 해 보자. 저, 할머니~~ "

" 이번엔 잘 할수 있는겨? "

" 일단 해 보세요. 구구단을 외자, 구구단을 외자, 팔일에? "

" 팔, 팔이? "

허걱. -_-;

" 십육, 팔삼? "

" 이십사, 팔사? "

" 삼십이, 팔오? "

" 사십, 팔육에? "

" 사십팔, 팔칠에? "

" 오십육, 칠구? "

" ... 우어. "

" 우어? 칠구는 육십삼이여. 더 연습해서 와. "

" 어때? 이겼어? "

" 영경아. 사람은 말이지, 고난과 역경을 헤쳐나갈수록 빛이 난다고 했고, ??nbsp
고생은 사서도 한다는 말이 있어. "

" 변명은 비참한거야. "

" 응. -_-; "

" 할머니가 안속아? "

" 그게 아니라.. 내가 할려고 했는데 할머니가 먼저 선수를 쳤어. 아으. "

" 그렇구나.. 쉽게 안될줄은 알았지만... 도대체 저 할머니는 맨날 구구단만
외운건가? 밥만 먹고.. 아니지, 진지만 드시고 매일 구구단만 외우신건가..
어휴.. "

" 그런가보지. 우어.. "

정말 맨날 구구단만 외우신 건가.. 어... 자..잠깐. 잠깐만. 혹시????

" 야, 영경아. 좋은 방법이 떠올랐어. "

" 뭔데? "

" 이게 성공할 지는 모르겠지만.. 한번 해 볼께. "

" 뭔데? 뭔데? "

" 그러니까.. 너 구구단은 몇 단이 있지? "

" 구구단이니까 아홉단. "

" 너 일단 외워본 적 있어? "

" 일단? 어..없는 것 같은데. 보통 구구단은 이단부터 외우잖아. 아! 너
일단으로 물어보려는 거구나? "

" 응. 너무 쉬운거라 안외우는 건데, 혹시 저 할머니가 보통 이단부터
나와있는 구구단만 기계적으로 외우신 거면 아마 효과가 있을지도 몰라. "

" 해봐, 해봐!! "

" 저 할머니~~~ "

" 또여? 구구단을 외자, 구구단을 외자, 팔구? "

" 칠십이, 오삼에?"

" 십오, 사칠에? "

" 이십팔, 육구? "

" 오십사, 구육?"

" 오십사, 일사? "

" 일사? 에.. 그게... 사. "

" 늦었어요, 할머니. 제가 이겼죠? "

" ..그...그려. 내가 졌구먼. 허 참.. "

" 이야~!!! 이겼다~!!! 음하하하하하하하~~~~!!!!!!!! "

" 야, 박동현! 이겼어? "

" 응, 이겼어!! 아자!!!! 할머니, 어서 안내해주세요!!! "

" 그려... 졌으니 안내해 줘야지. 거 참.. 일단으로 지기는 이번이 처음일세. "

처음? 그럼 다른 사람들은 일단을 이용한게 아니란 말야?

" 어.. 그럼 할머니를 실력으로 이긴 사람도 있어요? "

" 그게.. 몇년 전인가.. 그려, 아마 중학생 쯤 되는 애였을껴. "

뜨어.. 중학생? 도대체 어떤 중학생이길래...

" 아무튼 이겼으니 수학동으로 안내해 주지. 어여 가자구. "

하룻밤동안 온갖 고생을 한 우리는 멀어져가는 할머니의 뒤를 따라 걸음을
재촉했다. 그 중학생이 누구인지 물어보는 것도 잊어버린채. 하지만 얼마
지나지 않아 나와 영경이는 그 중학생의 정체를 알게 되었다.....



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추신: 구구단을 외자 쓰면서 저도 헷갈려서 몇번이나 고쳤슴다. 이거 열라
어렵군요. 우어. -_-;